ആവൃത്തി ഡൊമെയ്‌ൻ അൺലോക്ക് ചെയ്യുന്നു: ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം വിശകലനത്തിലേക്കുള്ള ഒരു സമഗ്ര ഗൈഡ്

ഒരു സിംഫണി ഓർക്കസ്ട്ര കേൾക്കുന്നതായി സങ്കൽപ്പിക്കുക. നിങ്ങളുടെ ചെവികൾ കാലക്രമേണ ശബ്ദത്തിൽ വ്യതിയാനം വരുത്തുന്ന ഒരൊറ്റ ശബ്ദത്തെ മാത്രം കേൾക്കുന്നില്ല. മറിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് സെല്ലോയുടെ ആഴത്തിലുള്ളതും പ്രതിധ്വനിക്കുന്നതുമായ ശബ്ദങ്ങളും വയലിന്റെ മൂർച്ചയുള്ളതും വ്യക്തവുമായ ടോണുകളും ട്രംപെറ്റിന്റെ ഉജ്ജ്വലമായ ശബ്ദവും വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും. നിങ്ങൾ, വാസ്തവത്തിൽ, ആവൃത്തി വിശകലനത്തിന്റെ ഒരു സ്വാഭാവിക രൂപം നടത്തുകയാണ്. നിങ്ങൾ ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ സിഗ്നലിനെ - ഓർക്കസ്ട്രയുടെ സംഗീതത്തെ - അതിന്റെ ഘടക ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. ശാസ്ത്രജ്ഞർ, എഞ്ചിനീയർമാർ, അനലിസ്റ്റുകൾ എന്നിവരെ ഏത് സിഗ്നലിന്റെ കാര്യത്തിലും ഇത് ചെയ്യാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണമാണ് ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം.

എക്കാലത്തും വികസിപ്പിച്ചെടുത്ത ഏറ്റവും ആഴത്തിലുള്ളതും വൈവിധ്യപൂർണ്ണവുമായ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം. കാലക്രമേണ സംഭവിക്കുന്ന ഒരു പരമ്പരയായി ലോകത്തെ കാണുന്നതിന് പകരം ശുദ്ധവും ശാശ്വതവുമായ വൈബ്രേഷനുകളുടെ സംমিশ্রണമായി കാണാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ലെൻസ് ഇത് നൽകുന്നു. ഒരു സിഗ്നലിനെ മനസ്സിലാക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ട് അടിസ്ഥാന വഴികൾക്കിടയിലുള്ള പാലമാണിത്: സമയ ഡൊമെയ്‌നും ആവൃത്തി ഡൊമെയ്‌നും. ഈ ബ്ലോഗ് പോസ്റ്റ് നിങ്ങളെ ആ പാലത്തിലൂടെ നയിക്കുകയും ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോമിനെക്കുറിച്ച് വിശദീകരിക്കുകയും ആഗോള വ്യവസായങ്ങളിലുടനീളമുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള അതിന്റെ അവിശ്വസനീയമായ ശക്തി കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

എന്താണ് ഒരു സിഗ്നൽ? സമയ ഡൊമെയ്‌ൻ കാഴ്ചപ്പാട്

ആവൃത്തി ഡൊമെയ്‌നിനെ അഭിനന്ദിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നമ്മൾ ആദ്യം അതിന്റെ എതിർവശം മനസ്സിലാക്കണം: സമയ ഡൊമെയ്ൻ. ഈ രീതിയിലാണ് നമ്മൾ സ്വാഭാവികമായി മിക്ക പ്രതിഭാസങ്ങളും അനുഭവിക്കുകയും രേഖപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നത്. സമയ ഡൊമെയ്ൻ ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ എടുത്ത അളവുകളുടെ ഒരു പരമ്പരയായി ഒരു സിഗ്നലിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

• ഒരു ഓഡിയോ റെക്കോർഡിംഗ്: ഒരു മൈക്രോഫോൺ കാലക്രമേണയുള്ള വായുവിന്റെ മർദ്ദത്തിലെ മാറ്റങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. ഇതിന്റെ ഒരു പ്ലോട്ട് y-axis-ൽ വ്യാപ്തിയും (ഉച്ചത്തിലുള്ളതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടത്), x-axis-ൽ സമയവും കാണിക്കുന്നു.
• ഒരു ഓഹരി വില ചാർട്ട്: ഇത് x-axis-ൽ സമയം (ദിവസങ്ങൾ, മണിക്കൂറുകൾ, മിനിറ്റുകൾ) അനുസരിച്ച് y-axis-ൽ ഒരു ഓഹരിയുടെ മൂല്യം പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു.
• ഒരു എലെക്ട്രോകാർഡിയോഗ്രാം (ECG/EKG): ഈ മെഡിക്കൽ ഡയഗ്നോസ്റ്റിക് ടൂൾ ഹൃദയത്തിന്റെ വൈദ്യുത പ്രവർത്തനത്തെ രേഖപ്പെടുത്തുന്നു, ഇത് കാലക്രമേണയുള്ള വോൾട്ടേജ് വ്യതിയാനങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു.
• ഒരു ഭൂകമ്പ അളവ്: ഒരു ഭൂകമ്പ സമയത്ത് ഒരു സീസ്മോഗ്രാഫ് കാലക്രമേണയുള്ള ഭൂമിയുടെ ചലനം അളക്കുന്നു.

സമയ ഡൊമെയ്ൻ അവബോധജന്യവും അത്യാവശ്യവുമാണ്. ഇത് എപ്പോൾ സംഭവിച്ചു, ഏത് തീവ്രതയോടെ സംഭവിച്ചു എന്ന് നമ്മളോട് പറയുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഇതിന് കാര്യമായ പരിമിതികളുണ്ട്. സമയ ഡൊമെയ്‌നിലെ ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഓഡിയോ തരംഗരൂപം നോക്കുമ്പോൾ, വ്യക്തിഗത സംഗീത കുറിപ്പുകൾ, കുറഞ്ഞ ആവൃത്തിയിലുള്ള മൂളലിന്റെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഉപകരണത്തിന് അതിന്റെ തനതായ ടിംബ്രെ നൽകുന്ന ഹാർമോണിക് ഘടന എന്നിവ തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയുന്നത് മിക്കവാറും അസാധ്യമാണ്. നിങ്ങൾ അവസാനത്തെ മിക്സ് ചെയ്ത ഫലം കാണുന്നു, പക്ഷേ ചേരുവകൾ മറഞ്ഞിരിക്കുന്നു.

ആവൃത്തി ഡൊമെയ്‌നിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുന്നു: ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോമിന്റെ പിന്നിലെ 'എന്തുകൊണ്ട്'

ഇവിടെയാണ് ജീൻ-ബാപ്റ്റിസ്റ്റ് ജോസഫ് ഫ്യൂറിയറുടെ ബുദ്ധി പ്രകടമാകുന്നത്. 19-ാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ അദ്ദേഹം ഒരു വിപ്ലവകരമായ ആശയം മുന്നോട്ട് വെച്ചു: ഏത് സങ്കീർണ്ണമായ സിഗ്നലും, എത്ര കുഴഞ്ഞുമറിഞ്ഞതാണെങ്കിലും, വ്യത്യസ്ത ആവൃത്തികളുടെയും വ്യാപ്തികളുടെയും ഘട്ടങ്ങളുടെയും ഒരു പരമ്പരയായ ലളിതമായ സൈൻ, കൊസൈൻ തരംഗങ്ങൾ ഒരുമിപ്പിച്ച് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും.

ഇതാണ് ഫ്യൂറിയർ വിശകലനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന തത്വം. ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം എന്നത് നമ്മുടെ സമയ-ഡൊമെയ്ൻ സിഗ്നൽ എടുത്ത് അത് നിർമ്മിക്കാൻ കൃത്യമായി ഏതൊക്കെ സൈൻ, കൊസൈൻ തരംഗങ്ങൾ ആവശ്യമാണെന്ന് കണ്ടെത്തുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രവർത്തനമാണ്. ഇത് അടിസ്ഥാനപരമായി സിഗ്നലിനായുള്ള ഒരു 'പാചകക്കുറിപ്പ്' നൽകുന്നു.

ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഇങ്ങനെ ചിന്തിക്കുക:

• സമയ ഡൊമെയ്ൻ സിഗ്നൽ: തയ്യാറാക്കിയ, ബേക്ക് ചെയ്ത കേക്ക്. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് രുചിക്കാനും അതിന്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള ഘടന വിവരിക്കാനും കഴിയും, പക്ഷേ അതിന്റെ കൃത്യമായ ഘടന നിങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല.
• ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം: കേക്കിൽ 500 ഗ്രാം മാവ്, 200 ഗ്രാം പഞ്ചസാര, 3 മുട്ടകൾ തുടങ്ങിയവ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്ന് പറയുന്ന രാസ വിശകലന പ്രക്രിയ.
• ആവൃത്തി ഡൊമെയ്ൻ പ്രാതിനിധ്യം (സ്പെക്ട്രം): ചേരുവകളുടെയും അവയുടെ അളവുകളുടെയും ലിസ്റ്റ്. ഇത് അടിസ്ഥാന ആവൃത്തികളും ('ചേരുവകൾ') അവയുടെ വ്യാപ്തിയും ('അളവുകൾ') കാണിക്കുന്നു.

സമയ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് ആവൃത്തി ഡൊമെയ്‌നിലേക്ക് നമ്മുടെ വീക്ഷണം മാറ്റുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് പുതിയ ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കാൻ കഴിയും: ഈ സിഗ്നലിലെ പ്രധാന ആവൃത്തികൾ ഏതാണ്? ഇവിടെ ഒരു нежелаемый высокая ആവൃത്തിയിലുള്ള ശബ്ദമുണ്ടോ? ഈ സാമ്പത്തിക ഡാറ്റയിൽ ആവർത്തിച്ചുള്ള ചക്രങ്ങൾ മറഞ്ഞിട്ടുണ്ടോ? സമയ ഡൊമെയ്‌നിൽ അദൃശ്യമായിരിക്കുന്നത് ആവൃത്തി ഡൊമെയ്‌നിൽ വ്യക്തമാകും.

മാന്ത്രികതയുടെ പിന്നിലെ ഗണിതം: ഒരു ലളിതമായ ആമുഖം

അടിസ്ഥാന ഗണിതം കർശനമായിരിക്കുമ്പോൾ തന്നെ പ്രധാന ആശയങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ മനസ്സിലാക്കാവുന്നതാണ്. ഫ്യൂറിയർ വിശകലനം നിരവധി പ്രധാന രൂപങ്ങളായി വികസിച്ചു, ഓരോന്നും വ്യത്യസ്ത തരം സിഗ്നലുകൾക്ക് അനുയോജ്യമാണ്.

ഫ്യൂറിയർ സീരീസ്: ആവർത്തിച്ചുള്ള സിഗ്നലുകൾക്കായി

ഒരു പ്രത്യേക കാലയളവിൽ സ്വയം ആവർത്തിക്കുന്ന സിഗ്നലുകൾക്ക് ബാധകമായ ഫ്യൂറിയർ സീരീസിലാണ് യാത്ര ആരംഭിക്കുന്നത്. ഒരു സിന്തസൈസറിൽ നിന്നുള്ള മികച്ച സംഗീത കുറിപ്പ് അല്ലെങ്കിൽ ഇലക്ട്രോണിക്സിലെ ഒരു സ്ക്വയർ തരംഗം എന്നിവയെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുക. അത്തരം ആവർത്തിച്ചുള്ള സിഗ്നലിനെ സൈൻ, കൊസൈൻ തരംഗങ്ങളുടെ (ഒരുപക്ഷേ അനന്തമായ) ഒരു പരമ്പരയുടെ തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് പറയുന്നു. ഈ തരംഗങ്ങളെല്ലാം ഒരു അടിസ്ഥാന ആവൃത്തിയുടെ ഗുണിതങ്ങളാണ്. ഈ ഗുണിതങ്ങളെ ഹാർമോണിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്ക്വയർ തരംഗം അതിന്റെ 3, 5, 7 മുതലായ ഒറ്റ ഹാർമോണിക്സിലേക്ക് ഒരു അടിസ്ഥാന സൈൻ തരംഗം ചേർത്ത് സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും. നിങ്ങൾ എത്രയധികം ഹാർമോണിക്സുകൾ ചേർക്കുന്നുവോ അത്രയധികം ഫലം ഒരു സ്ക്വയർ തരംഗത്തെ കൂടുതൽ അനുസ്മരിപ്പിക്കും.

ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം: ആവർത്തിക്കാത്ത സിഗ്നലുകൾക്കായി

എന്നാൽ കൈകളുടെ ഒരൊറ്റ കൈയടി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ചെറിയ സംഭാഷണ ഭാഗം പോലെ ആവർത്തിക്കാത്ത സിഗ്നലുകളെക്കുറിച്ച് എന്ത് പറയാൻ കഴിയും? ഇതിനായി നമുക്ക് ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം ആവശ്യമാണ്. ഇത് ആവർത്തിക്കാത്ത സിഗ്നലുകളെ അവയുടെ കാലയളവ് അനന്തമായി കണക്കാക്കി ഫ്യൂറിയർ സീരീസിന്റെ ആശയം പൊതുവൽക്കരിക്കുന്നു. ഹാർമോണിക്സുകളുടെ ഒരു പ്രത്യേക തുകയ്ക്ക് പകരം, ഫലം സ്പെക്ട്രം എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു തുടർച്ചയായ ഫംഗ്ഷനാണ്, ഇത് സിഗ്നലിലേക്ക് സംഭാവന ചെയ്യുന്ന സാധ്യമായ എല്ലാ ആവൃത്തിയുടെയും വ്യാപ്തിയും ഘട്ടവും കാണിക്കുന്നു.

ഡിസ്‌ക്രീറ്റ് ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം (DFT): ഡിജിറ്റൽ ലോകത്തിനായി

നമ്മുടെ ആധുനിക ലോകത്ത്, നമ്മൾ തുടർച്ചയായ അനലോഗ് സിഗ്നലുകളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നത് വളരെ കുറവാണ്. പകരം, നമ്മൾ ഡിജിറ്റൽ ഡാറ്റയുമായാണ് പ്രവർത്തിക്കുന്നത് - സമയബന്ധിതമായ പോയിന്റുകളിൽ സാമ്പിൾ ചെയ്ത സിഗ്നലുകൾ. ഡിസ്‌ക്രീറ്റ് ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം (DFT) ഈ ഡിജിറ്റൽ യാഥാർത്ഥ്യത്തിനായി രൂപകൽപ്പന ചെയ്ത ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോമിന്റെ പതിപ്പാണ്. ഇത് ഡാറ്റ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു നിശ്ചിത ശ്രേണി എടുക്കുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സെക്കൻഡ് ഓഡിയോ ക്ലിപ്പിന്റെ സാമ്പിളുകൾ) കൂടാതെ ആവൃത്തി ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു നിശ്ചിത ശ്രേണി നൽകുന്നു. ഫ്യൂറിയറിന്റെ സൈദ്ധാന്തിക ലോകവും കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെ പ്രായോഗിക ലോകവും തമ്മിലുള്ള നേരിട്ടുള്ള ബന്ധമാണ് DFT.

ഫാസ്റ്റ് ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം (FFT): ആധുനിക സിഗ്നൽ പ്രോസസ്സിംഗിന്റെ എഞ്ചിൻ

DFT നേരിട്ട് കണക്കാക്കുന്നത് കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽപരമായി തീവ്രമാണ്. 'N' സാമ്പിളുകളുള്ള ഒരു സിഗ്നലിന്, ആവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ എണ്ണം N² അനുസരിച്ച് വർദ്ധിക്കുന്നു. 44.1 kHz-ൽ (44,100 സാമ്പിളുകൾ) സാമ്പിൾ ചെയ്ത ഒരു സെക്കൻഡ് ഓഡിയോ ക്ലിപ്പിന് ഇത് റിയൽ-ടൈം വിശകലനം അസാധ്യമാക്കിക്കൊണ്ട് കോടിക്കണക്കിന് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമായി വരും. ഫാസ്റ്റ് ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോമിന്റെ (FFT) വികസനത്തോടെയാണ് വഴിത്തിരിവുണ്ടായത്. FFT ഒരു പുതിയ ട്രാൻസ്‌ഫോം അല്ല, DFT കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ശ്രദ്ധേയമായ കാര്യക്ഷമമായ ഒരു അൽഗോരിതമാണ്. ഇത് കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ സങ്കീർണ്ണതയെ N*log(N) ആയി കുറയ്ക്കുന്നു, ഇത് ആധുനിക ഡിജിറ്റൽ സിഗ്നൽ പ്രോസസ്സിംഗിന്റെ (DSP) ശക്തികേന്ദ്രമായി ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോമിനെ മാറ്റിയ ഒരു വലിയ മെച്ചപ്പെടുത്തലാണ്.

ആവൃത്തി ഡൊമെയ്‌ൻ ദൃശ്യവൽക്കരിക്കുന്നു: സ്പെക്ട്രം മനസ്സിലാക്കുന്നു

ഒരു FFT-യുടെ ഔട്ട്പുട്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്. ഈ സംഖ്യകളിൽ എല്ലാ വിവരങ്ങളും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിലും അവ നേരിട്ട് വ്യാഖ്യാനിക്കാൻ എളുപ്പമല്ല. പകരം, നമ്മൾ അവയെ സ്പെക്ട്രം അല്ലെങ്കിൽ സ്പെക്ട്രോഗ്രാം എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു പ്ലോട്ടിൽ ദൃശ്യവൽക്കരിക്കുന്നു.

• x-axis ആവൃത്തിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഇത് സാധാരണയായി ഹെർട്‌സിൽ (Hz) അളക്കുന്നു, അതായത് ഒരു സെക്കൻഡിൽ എത്ര സൈക്കിളുകൾ.
• y-axis ഓരോ ആവൃത്തി ഘടകത്തിന്റെയും മാഗ്നിറ്റ്യൂഡിനെ (അല്ലെങ്കിൽ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ്) പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ആ പ്രത്യേക ആവൃത്തി സിഗ്നലിൽ എത്രത്തോളമുണ്ടെന്ന് ഇത് നമ്മളോട് പറയുന്നു.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

• ഒരു ശുദ്ധമായ സൈൻ തരംഗം: 440 Hz-ന്റെ ഒരു മികച്ച സൈൻ തരംഗമായ ഒരു സിഗ്നൽ (സംഗീത കുറിപ്പ് 'A') സമയ ഡൊമെയ്‌നിൽ സുഗമമായ, ആവർത്തിച്ചുള്ള തരംഗമായി കാണപ്പെടും. ആവൃത്തി ഡൊമെയ്‌നിൽ, അതിന്റെ സ്പെക്ട്രം വളരെ ലളിതമായിരിക്കും: കൃത്യമായി 440 Hz-ൽ ഒരൊറ്റ, മൂർച്ചയുള്ള സ്പൈക്ക് മറ്റൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല.
• ഒരു സ്ക്വയർ തരംഗം: നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഒരു 100 Hz സ്ക്വയർ തരംഗം അതിന്റെ അടിസ്ഥാന ആവൃത്തിയായ 100 Hz-ൽ ഒരു വലിയ സ്പൈക്ക് കാണിക്കും, തുടർന്ന് അതിന്റെ ഒറ്റ ഹാർമോണിക്സിൽ ചെറിയ സ്പൈക്കുകൾ കാണിക്കും: 300 Hz, 500 Hz, 700 Hz തുടങ്ങിയവ, ആവൃത്തി വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് ഈ ഹാർമോണിക്സുകളുടെ വ്യാപ്തി കുറയും.
• വൈറ്റ് നോയിസ്: റാൻഡം നോയിസിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു സിഗ്നൽ (പഴയ അനലോഗ് ടിവിയിൽ നിന്നുള്ള സ്റ്റാറ്റിക് പോലെ) എല്ലാ ആവൃത്തികളിലുമുള്ള തുല്യ പവർ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അതിന്റെ സ്പെക്ട്രം മുഴുവൻ ആവൃത്തി ശ്രേണിയിലുടനീളം താരതമ്യേന പരന്ന, ഉയർന്ന രേഖയായി കാണപ്പെടും.
• മനുഷ്യ സംസാരം: സംസാരിക്കുന്ന വാക്കിന്റെ സ്പെക്ട്രം സങ്കീർണ്ണമായിരിക്കും, സ്പീക്കറുടെ ശബ്ദത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആവൃത്തിയിലും അതിന്റെ ഹാർമോണിക്സിലും (പിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്) കൊടുമുടികൾ കാണിക്കുന്നു, അതുപോലെ വ്യത്യസ്ത സ്വരാക്ഷര ശബ്ദങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമായ വിശാലമായ ആവൃത്തി ക്ലസ്റ്ററുകളും കാണിക്കുന്നു.

ആഗോള വ്യവസായങ്ങളിലുടനീളമുള്ള പ്രായോഗിക ഉപയോഗങ്ങൾ

ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോമിന്റെ உண்மையான அழகு അതിന്റെ സർവ്വവ്യാപകതയിലാണ്. ലോകത്തിലെവിടെയായിരുന്നാലും നമ്മുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന എണ്ണമറ്റ സാങ്കേതികവിദ്യകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു അടിസ്ഥാന ഉപകരണമാണിത്.

ഓഡിയോ എഞ്ചിനീയറിംഗും സംഗീത നിർമ്മാണവും

ഇത് ഒരുപക്ഷേ ഏറ്റവും അവബോധജന്യമായ ആപ്ലിക്കേഷനാണ്. എല്ലാ ഓഡിയോ മിക്സിംഗ് കൺസോളുകളും ഡിജിറ്റൽ ഓഡിയോ വർക്ക്സ്റ്റേഷനും (DAW) ആവൃത്തി കൃത്രിമത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

• ഈക്വലൈസറുകൾ (EQ): ഒരു EQ എന്നത് ഫ്യൂറിയർ വിശകലനത്തിന്റെ நேரடி பயன்பாடாகும். ഒരു ട്രാക്കിന്റെ ആവൃത്തി സ്പെക്ട്രം കാണാനും നിർദ്ദിഷ്ട ആവൃത്തി ബാൻഡുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കാനും കുറയ്ക്കാനും ഇത് എഞ്ചിനീയറെ അനുവദിക്കുന്നു - ഉദാഹരണത്തിന്, 200-300 Hz-ന് അടുത്തുള്ള ചെളി നിറഞ്ഞ ശബ്ദം കുറയ്ക്കുക അല്ലെങ്കിൽ 10 kHz-ന് മുകളിലുള്ള ആവൃത്തികൾ വർദ്ധിപ്പിച്ച് 'എയർ' ചേർക്കുക.
• ശബ്ദം കുറയ്ക്കൽ: ലോകമെമ്പാടുമുള്ള ഒരു സാധാരണ പ്രശ്നമാണ് പവർ ലൈനുകളിൽ നിന്നുള്ള വൈദ്യുത മൂളൽ, ഇത് ചില പ്രദേശങ്ങളിൽ 60 Hz-ൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, വടക്കേ അമേരിക്ക) മറ്റ് ചില പ്രദേശങ്ങളിൽ 50 Hz-ൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, യൂറോപ്പ്, ഏഷ്യ) സംഭവിക്കുന്നു. ഒരു FFT ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രത്യേക ആവൃത്തി തിരിച്ചറിയാനും ബാക്കിയുള്ള ഓഡിയോയെ ബാധിക്കാതെ റെക്കോർഡിംഗ് വൃത്തിയാക്കാനും കഴിയും.
• ഓഡിയോ ഇഫക്റ്റുകൾ: Auto-Tune പോലുള്ള പിച്ച് കറക്ഷൻ ടൂളുകൾ ഒരു ഗായകന്റെ ശബ്ദത്തിന്റെ പ്രധാന ആവൃത്തി കണ്ടെത്താനും അതിനെ അടുത്തുള്ള ആവശ്യമുള്ള സംഗീത കുറിപ്പിലേക്ക് മാറ്റാനും FFT-കൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ടെലികമ്മ്യൂണിക്കേഷൻസ്

ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം ഇല്ലാതെ ആധുനിക ആശയവിനിമയം അസാധ്യമാണ്. ഇത് ഒന്നിലധികം സിഗ്നലുകളെ ഇടപെടലില്ലാതെ ഒരൊറ്റ ചാനലിലൂടെ അയയ്ക്കാൻ നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു.

• മോഡുലേഷൻ: ഒരു താഴ്ന്ന ആവൃത്തിയിലുള്ള ഓഡിയോ സിഗ്നൽ എടുത്ത് ഉയർന്ന ആവൃത്തിയിലുള്ള റേഡിയോ തരംഗത്തിൽ (കാരിയർ ആവൃത്തി) 'കൊണ്ടുപോകുന്നതിലൂടെ' റേഡിയോ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. മോഡുലേഷൻ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഈ പ്രക്രിയ ആവൃത്തി ഡൊമെയ്ൻ തത്വങ്ങളിൽ ആഴത്തിൽ വേരൂന്നിയതാണ്.
• OFDM (ഓർത്തോഗണൽ ഫ്രീക്വൻസി-ഡിവിഷൻ മൾട്ടിപ്ലെക്സിംഗ്): 4G, 5G, Wi-Fi, ഡിജിറ്റൽ ടെലിവിഷൻ തുടങ്ങിയ ആധുനിക നിലവാരങ്ങളുടെ പിന്നിലെ പ്രധാന സാങ്കേതികവിദ്യയാണിത്. ഒരൊറ്റ, വേഗതയേറിയ കാരിയറിൽ ഡാറ്റ കൈമാറുന്നതിനുപകരം OFDM ഡാറ്റയെ ആയിരക്കണക്കിന് വേഗത കുറഞ്ഞ, അടുത്തടുത്തുള്ള, ഓർത്തോഗണൽ സബ്-കാരിയറുകളായി വിഭജിക്കുന്നു. ഇത് സിഗ്നലിനെ ഇടപെടലുകൾക്കെതിരെ വളരെ ശക്തമാക്കുന്നു, കൂടാതെ FFT-കളും അവയുടെ വിപരീതവും ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പൂർണ്ണമായും കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു.

മെഡിക്കൽ ഇമേജിംഗും ഡയഗ്നോസ്റ്റിക്സും

ശക്തമായ ഡയഗ്നോസ്റ്റിക് ടൂളുകൾ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കുന്നതിലൂടെ ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം ജീവൻ രക്ഷിക്കുന്നു.

• മാഗ്നെറ്റിക് റെസൊണൻസ് ഇമേജിംഗ് (MRI): ഒരു MRI മെഷീൻ ശരീരത്തിന്റെ நேரடி ചിത്രം എടുക്കുന്നില്ല. ഇത് ടിഷ്യൂകളുടെ spatial frequencies-യെക്കുറിച്ചുള്ള ഡാറ്റ ശേഖരിക്കുന്നതിന് ശക്തമായ കാന്തികക്ഷേത്രങ്ങളും റേഡിയോ തരംഗങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. 'k-space' (ചിത്രങ്ങൾക്കായുള്ള ആവൃത്തി ഡൊമെയ്ൻ) എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നതിൽ ശേഖരിക്കുന്ന ഈ الخام ഡാറ്റയെ തുടർന്ന് 2D Inverse Fourier Transform ഉപയോഗിച്ച് വിശദമായ അനാട്ടമിക്കൽ ചിത്രമാക്കി മാറ്റുന്നു.
• ECG/EEG വിശകലനം: മസ്തിഷ്ക തരംഗങ്ങളുടെ (EEG) അല്ലെങ്കിൽ ഹൃദയമിടിപ്പുകളുടെ (ECG) ആവൃത്തി സ്പെക്ട്രം വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ ഡോക്ടർമാർക്ക് ചില അവസ്ഥകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന പാറ്റേണുകൾ തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, EEG-യിലെ ചില ആവൃത്തി ബാൻഡുകൾ ഉറക്കത്തിന്റെ വിവിധ ഘട്ടങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ചിത്ര സംസ്കരണം

ഒരു 1D സിഗ്നലിനെ ആവൃത്തികളായി വിഭജിക്കാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, ഒരു 2D ചിത്രത്തെ വ്യത്യസ്ത ആവൃത്തികളുടെയും ഓറിയന്റേഷനുകളുടെയും 2D സൈൻ/കൊസൈൻ തരംഗങ്ങളായി വിഭജിക്കാൻ കഴിയും.

• ചിത്ര കംപ്രഷൻ (JPEG): JPEG ഫോർമാറ്റ് ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോമിന്റെ (പ്രത്യേകിച്ച് ഡിസ്‌ക്രീറ്റ് കൊസൈൻ ട്രാൻസ്‌ഫോം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ട്രാൻസ്‌ഫോമിന്റെ) മികച്ച ഉപയോഗമാണ്. ഒരു ചിത്രം ചെറിയ блоками ആയി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഓരോ ബ്ലോക്കിനെയും ആവൃത്തി ഡൊമെയ്‌നിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു. മനുഷ്യന്റെ കണ്ണ് സെൻസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത മികച്ച വിശദാംശങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഉയർന്ന ആവൃത്തിയിലുള്ള ഘടകങ്ങൾ കുറഞ്ഞ കൃത്യതയോടെ സംഭരിക്കാനോ പൂർണ്ണമായും ഉപേക്ഷിക്കാനോ കഴിയും. ഇത് ഗുണനിലവാരം കുറയാതെ തന്നെ വലിയ ഫയൽ വലുപ്പം കുറയ്ക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു.
• ഫിൽട്ടറിംഗും മെച്ചപ്പെടുത്തലും: ആവൃത്തി ഡൊമെയ്‌നിൽ കുറഞ്ഞ ആവൃത്തികൾ ഒരു ചിത്രത്തിലെ സുഗമവും ക്രമേണയുള്ളതുമായ മാറ്റങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതേസമയം ഉയർന്ന ആവൃത്തികൾ മൂർച്ചയുള്ള അരികുകളുമായും വിശദാംശങ്ങളുമായും ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഒരു ചിത്രം മങ്ങിക്കാൻ ആവൃത്തി ഡൊമെയ്‌നിൽ ഒരു ലോ-പാസ് ഫിൽട്ടർ ഉപയോഗിക്കാം (ഉയർന്ന ആവൃത്തികൾ നീക്കംചെയ്യുന്നു). ഒരു ചിത്രം മൂർച്ച കൂട്ടാൻ ഉയർന്ന ആവൃത്തികൾ വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

പ്രധാന ആശയങ്ങളും പൊതുவான അപകടങ്ങളും

ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം ഫലപ്രദമായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, ചില അടിസ്ഥാന തത്വങ്ങളെയും സാധ്യതയുള്ള വെല്ലുവിളികളെയും കുറിച്ച് ബോധവാന്മാരായിരിക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ്.

നൈക്വിസ്റ്റ്-ഷാനോൺ സാമ്പിളിംഗ് സിദ്ധാന്തം

ഡിജിറ്റൽ സിഗ്നൽ പ്രോസസ്സിംഗിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട നിയമമാണിത്. ഒരു സിഗ്നലിനെ ഡിജിറ്റലായി കൃത്യമായി പകർത്താൻ നിങ്ങളുടെ സാമ്പിളിംഗ് നിരക്ക് സിഗ്നലിൽ ഉള്ള ഏറ്റവും ഉയർന്ന ആവൃത്തിയുടെ ഇരട്ടിയെങ്കിലും ആയിരിക്കണം എന്ന് ഇത് പറയുന്നു. ഈ കുറഞ്ഞ சாம்பிളിംഗ് നിരക്കിനെ നൈക്വിസ്റ്റ് നിരക്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ ഈ നിയമം ലംഘിച്ചാൽ അലിയാസിംഗ് എന്ന പ്രതിഭാസം സംഭവിക്കും. വേണ്ടത്ര വേഗത്തിൽ സാമ്പിൾ ചെയ്യാത്ത ഉയർന്ന ആവൃത്തികൾ 'മടങ്ങിപ്പോവുകയും' നിങ്ങളുടെ ഡാറ്റയിൽ കുറഞ്ഞ ആവൃത്തികളായി തെറ്റായി ദൃശ്യമാവുകയും ചെയ്യുന്നു, ഇത് പഴയപടിയാക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു മിഥ്യാബോധം സൃഷ്ടിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ടാണ് CD-കൾ 44.1 kHz സാമ്പിളിംഗ് നിരക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്നത് - ഇത് മനുഷ്യർക്ക് കേൾക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും ഉയർന്ന ആവൃത്തിയുടെ (ഏകദേശം 20 kHz) ഇരട്ടിയേക്കാൾ കൂടുതലാണ്, അതിനാൽ കേൾക്കാവുന്ന ശ്രേണിയിൽ അലിയാസിംഗ് തടയുന്നു.

വിൻഡോയിംഗും സ്പെക്ട്രൽ ലീക്കേജും

നിങ്ങൾ നൽകുന്ന ഡാറ്റയുടെ നിശ്ചിത ഭാഗം അനന്തമായി ആവർത്തിക്കുന്ന സിഗ്നലിന്റെ ഒരു കാലയളവാണെന്ന് FFT അനുമാനിക്കുന്നു. നിങ്ങളുടെ സിഗ്നൽ ആ ഭാഗത്തിനുള്ളിൽ പൂർണ്ണമായും ആവർത്തിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ (ഇത് മിക്കവാറും എല്ലായ്പ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നതാണ്), ഈ അനുമാനം അതിരുകളിൽ മൂർച്ചയുള്ള തുടർച്ചയില്ലാത്ത അവസ്ഥകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഈ കൃത്രിമമായ മൂർച്ചയുള്ള അಂಚുകൾ നിങ്ങളുടെ സ്പെക്ട്രത്തിലേക്ക് വ്യാജ ആവൃത്തികൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, ഈ പ്രതിഭാസത്തെ സ്പെക്ട്രൽ ലീക്കേജ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് നിങ്ങൾ അളക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്ന உண்மையான ആവൃത്തികളെ മറയ്ക്കാൻ കഴിയും.

ഇതിനുള്ള പരിഹാരമാണ് വിൻഡോയിംഗ്. ഒരു വിൻഡോ ഫംഗ്‌ഷൻ (ഒരു ഹാൻ അല്ലെങ്കിൽ ഹാമിംഗ് വിൻഡോ പോലെ) സമയ-ഡൊമെയ്‌ൻ ഡാറ്റയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഫംഗ്‌ഷനാണ്. ഇത് സിഗ്നലിനെ തുടക്കത്തിലും അവസാനത്തിലും സുഗമമായി ടാപ്പർ ചെയ്യുന്നു, കൃത്രിമമായ തുടർച്ചയില്ലാത്ത അവസ്ഥ കുറയ്ക്കുകയും സ്പെക്ട്രൽ ലീക്കേജ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, ഇത് വൃത്തിയുള്ളതും കൂടുതൽ കൃത്യവുമായ സ്പെക്ട്രത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

ഘട്ടവും വ്യാപ്തിയും

സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഒരു FFT-യുടെ ഔട്ട്പുട്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പരയാണ്. ഇവയിൽ നിന്ന് നമ്മൾ ഓരോ ആവൃത്തിക്കുമുള്ള രണ്ട് പ്രധാന വിവരങ്ങൾ നേടുന്നു:

• വ്യാപ്തി: ഇതാണ് നമ്മൾ സാധാരണയായി പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നത്. ആ ആവൃത്തിയുടെ ശക്തി അല്ലെങ്കിൽ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് ഇത് നമ്മളോട് പറയുന്നു.
• ഘട്ടം: ആ ആവൃത്തിയുടെ സൈൻ തരംഗത്തിന്റെ ആരംഭ സ്ഥാനം അല്ലെങ്കിൽ ഓഫ്‌സെറ്റ് ഇത് നമ്മളോട് പറയുന്നു.

വ്യാപ്തി സ്പെക്ട്രമാണ് പലപ്പോഴും വിശകലനത്തിന്റെ ശ്രദ്ധാകേന്ദ്രം എങ്കിലും ശരിയായ ഘട്ട വിവരങ്ങളില്ലാതെ നിങ്ങൾക്ക് உண்மையான സമയ-ഡൊമെയ്ൻ സിഗ്നലിനെ പുനർനിർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല. രണ്ട് സിഗ്നലുകൾക്ക് ஒரே വ്യാപ്തി സ്പെക്ട്രം ഉണ്ടാകാം, എന്നാൽ അവയുടെ ഘട്ട വിവരങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായതിനാൽ അവ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായി കേൾക്കുകയോ കാണുകയോ ചെയ്യാം. ഘട്ടത്തിൽ സിഗ്നലിന്റെ സവിശേഷതകളുടെ എല്ലാ സമയക്രമവും സ്ഥാന വിവരങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

செயல்படுத்தக்கூடிய உள்ளீடுகள்: ഫ്യൂറിയർ വിശകലനം എങ്ങനെ ആരംഭിക്കാം

ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം ഉപയോഗിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാകേണ്ടതില്ല. ശക്തമായ, ഉയർന്ന രീതിയിൽ ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്ത FFT ലൈബ്രറികൾ മിക്ക പ്രധാന പ്രോഗ്രാമിംഗ്, ഡാറ്റാ വിശകലന പരിതസ്ഥിതികളിലും ലഭ്യമാണ്.

• Python: `numpy.fft` മൊഡ്യൂൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, `np.fft.fft()`) കൂടാതെ കൂടുതൽ സമഗ്രമായ `scipy.fft` മൊഡ്യൂൾ എന്നിവ ശാസ്ത്രീയ കമ്പ്യൂട്ടിംഗിനായുള്ള വ്യവസായ മാനദണ്ഡങ്ങളാണ്.
• MATLAB: അതിന്റെ സിഗ്നൽ പ്രോസസ്സിംഗ് ടൂൾബോക്സുകളുടെ மையமாக உள்ளமைந்த `fft()` மற்றும் `ifft()` ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്.
• R: `stats` പാക്കേജിൽ ടൈം സീരീസ് വിശകലനത്തിനായി `fft()` ഫംഗ്ഷൻ ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഒരു സാധാരണ വർക്ക്ഫ്ലോ ഇതുപോലെയായിരിക്കാം:

1. ഒരു സിഗ്നൽ നേടുക അല്ലെങ്കിൽ உருவாக்கുക: ഒരു ഓഡിയോ ഫയൽ, സ്റ്റോക്ക് ഡാറ്റയുടെ CSV അല്ലെങ്കിൽ കുറച്ച് അധിക ശബ്ദത്തോടുകൂടിയ നിരവധി സൈൻ തരംഗങ്ങളുടെ கலவையான ஒரு சிಗ್னல் உருவாக்கുക.
2. ഒരു വിൻഡോ ഫംഗ്‌ഷൻ പ്രയോഗിക്കുക: സ്പെക്ട്രൽ ലീക്കേജ് കുറയ്ക്കുന്നതിന് നിങ്ങളുടെ സിഗ്നലിനെ ഒരു വിൻഡോ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഗുണിക്കുക (ഉദാഹരണത്തിന്, `numpy.hanning()`).
3. FFT കണക്കാക്കുക: നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത ലൈബ്രറിയിൽ നിന്ന് FFT ഫംഗ്‌ഷൻ നിങ്ങളുടെ விண்டോ செய்யப்பட்ட സിഗ്னலுக்கு പ്രയോഗിക്കുക.
4. വ്യാപ്തി കണക്കാക്കുക: FFT ഔട്ട്പുട്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളായിരിക്കും. വ്യാപ്തി ലഭിക്കാൻ അവയുടെ കേവല മൂല്യം കണക്കാക്കുക (ഉദാഹരണത്തിന്, `np.abs()`).
5. ആവൃത്തി അക്ഷം உருவாக்கുക: നിങ്ങളുടെ x-axis-നുള്ള ആവൃത്തി മൂല്യങ്ങളുടെ ஒரு தொடர்புடைய வரிசை உருவாக்கുക. ആവൃത്തികൾ 0 മുതൽ நைக்விஸ்ட் ആവൃത്തി വരെ இருக்கும்.
6. പ്ലോട്ട് ചെയ്ത് വിശകലനം ചെയ്യുക: സ്പെക്ട്രം ദൃശ്യവൽക്കരിക്കാൻ ആവൃത്തി അക്ഷത്തിനെതിരെ വ്യാപ്തിയെ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക. കൊടുമുടികൾ, പാറ്റേണുകൾ, ശബ്ദ നിലകൾ എന്നിവയ്ക്കായി നോക്കുക.

முடிவுரை: ஒரு மாறுபட்ட கண்ணோட்டத்தின் நீடித்த சக்தி

ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്‌ഫോം എന്നത് ഒരു ഗണിதவியல் கருவி மட்டுமல்ல, அது ஒரு புதிய வழிகாட்டி. சமமற்ற நிகழ்வுகளை எளிய, அத்தியாவசிய அதிர்வுகளின் ஒரு சங்கீதமாக புரிந்து கொள்ள முடியும் என்று அது நமக்குக் கற்பிக்கிறது. സമയ மண்டலத்தில் சிக்கலானதாகத் தோன்றும் சிഗ്னலை ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட அதிர்வெண்களின் സ്പെക്ട്രமாக இது மாற்றுகிறது.

உங்களுடைய சாதனத்திற்கு ഈ வார்த்தைகளை எடுத்துச் செல்லும் Wi-Fi സിగ్னல் முதல் மனித உடலில் காணப்படும் மருத்துவ ஸ்கேன் வரை, நிதிச் சந்தைகளை புரிந்துகொள்ள உதவும் அல்கோரிதம்கள் வரை, ജോசப் ஃபூரியரின் செல்வாக்கு நவீன தொழில்நுட்ப உலகில் உள்ளது. அதிர்வெண்களைப் பற்றி சிந்திக்க கற்றுக்கொள்வதன் மூலம், தரவுகளின் மேற்பரப்பில் மறைந்திருக்கும் ஒழுங்கையும் கட்டமைப்பையும் കാണ உதவுகிறது.